Sob número 37 ou sob o número 37?

1) A preposição sob tem diversos sentidos em português:

I) embaixo de (no sentido físico), como em "Escondeu-se sob a cama";

II) submetido a (uma autoridade ou comando, para o exercício de cargo ou função), como em "Servia sob as ordens do ministro";

III) a partir de, como em "Analisar o problema sob novos ângulos";

IV) de acordo com, como em "Roupa sob medida";

V) dominado, como em "Situação sob controle";

VI) em conseqüência de, como em "A dor diminuiu sob analgésicos poderosos";

VII) debaixo de proteção, como em "Viver sob as asas da mãe";

VIII) interior de, como em "Usar camiseta sob a blusa de lã";

IX) cercado por, como em "Os vitoriosos desfilavam sob aplausos".

2) Como é de fácil verificação nos exemplos dados, em alguns casos, independentemente do sentido, emprega-se o artigo, como em sob a cama, sob as ordens, sob as asas da mãe. Em outros, prefere-se omitir o artigo, como em sob novos ângulos, sob medida, sob controle, sob analgésicos e sob aplausos.

3) Não há uma razão específica nem uma regra para empregar ou omitir o artigo em tais casos, e a questão fica muito mais para a eufonia, para o som resultante da fala, do que para uma regra gramatical específica.

4) Quando tem a acepção pretendida pela dúvida sob análise, de indicado, designado por ou com, a eufonia nem exige nem impede qualquer das duas construções, de modo que são corretas ambas as formas: "Inscrito no CNPJ sob número 37" ou "Inscrito no CNPJ sob o número 37".